Question

把边长为a的等边三角形铁皮如图（1）剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图（2），设容器的高为x，容积为。
（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。

Answer 1

（Ⅰ）   
（Ⅱ）当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为 

（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----2分.
则   .  -------------5分
函数的定义域为.    ----------------6分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.
先求的极值点.
在开区间内，-------------8分
令，即令，解得.
因为在区间内，可能是极值点. 当时，；
当时，.          -----11分
因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值   
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.------14分