Question

（1）用单调性定义证明：函数f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函数；
（2）求函数f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），设x₁＞x₂，判断f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)，进而根据增函数的定义，判断出函数f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函数；
（2）先判断出函数f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的单调性，进而可求出函数f(x)=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域．

解答：证明：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），设x₁＞x₂…（2分）
则f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

…（4分）
∵x₁＞x₂≥2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，∴

x1x2-4

x1x2

＞0…（6分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂）
所以，函数f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函数…（8分）
解：（2）由（1）知，f（x）=x+

4

x

在[2，6]上是增函数…（9分）
而f(2)=4，f(6)=

20

3

，所以对任意x₀∈[2，6]，有4≤f(x0)≤

20

3

成立．…（11分）
∴-x₀∈[-6，-2]，则-

20

3

≤-f(x0)≤-4，即：-

20

3

≤f(-x0)≤-4…（14分）
函数f（x）=x+

4

x

在[-6，-2]上的值域是[-

20

3

，-4]…（15分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握函数单调性的证明方法及应用方法是解答的关键．