Question

 (1)m为何值时，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.

①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)若函数f(x)＝|4x－x²|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析　(1)①f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根

⇔Δ＝0，即4m²－4(3m＋4)＝0，即m²－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②法一　设f(x)的两个零点分别为x₁，x₂，

则x₁＋x₂＝－2m，x₁·x₂＝3m＋4.

由题意，在⇔

⇔

∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．

法二　由题意，知即

∴－5＜m＜－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．

(2)令f(x)＝0，得|4x－x²|＋a＝0，

即|4x－x²|＝－a.

令g(x)＝|4x－x²|，h(x)＝－a.

作出g(x)、h(x)的图象．

由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．