Question

如图为函数M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为
（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：对函数求导可得，f′（x）=，根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y-=（x-t），进而可得面积S=-t+，令g（t）为一个新的函数，要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，通过g′（t）研究函数函数g（t）在（0，1）上的单调性，结合函数的图象进行求解；
解答：解：解：对函数求导可得，f′（x）=，由题意可得M（t，），
切线的斜率k=f′（t）=
过点M的切线方程为y-=（x-t）
则可得P（0，），N（0，1），Q（2-t，1），
s_△PNQ=PN•NQ=（2-t）（1-）=-t+，
令g（t）=-t+（0＜t＜1）
g′（t）=+-1==，
函数g（t）在（0，）单调递增，在[，1）单调递减，
由于g（1）=，g（）=，
△PNQ的面积为b时的点M恰好有两个，
即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，
根据函数的图象可得，＜b＜，

故选D；
点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，给出相应的函数的图象，本题是一道中档题；