Question

函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R，H(x)=

f(x) 0 (x＞0) (x=0) -f(x) (x＜0)

（1）若f（-1）=0，且方程ax²+bx+1=0（a≠0）有唯一实根，求H（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k取值范围；
（3）设a=1且b=0，解关于m的不等式：H（m²+2）+H（3m）＞0．

Answer 1

分析：（1）由题意可得△=b²-4a=0，结合f（-1）=0，代入可求a，b，可求f（x），进而可求H（x）
（2）由g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，结合二次函数的性质及g（x）在[-2，2]上是单调函数可得

-2+k

2

≤-2或

k-2

2

≥2，从而可求k的范围
（3）由题意可求H（x），结合H（x）是奇函数可把已知转化为H（m²+2）＞H（-3m），结合H（x）在R上是增函数可得关于m的不等式，从而可求m的范围

解答：解：（1）∵ax²+bx+1=0（a≠0）有相等实根
∴△=b²-4a=0①…（1分）
又∵f（-1）=0
即 a-b+1=0②…（1分）
由①、②可得：a=1，b=2…（1分）
∴F(x)=

x2+2x+1，x＞0 0，x=0 -x2-2x-1，x＜0

…（1分）
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1…（1分）
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数
∴

-2+k

2

≤-2或

k-2

2

≥2…（3分）
∴k≤-2或k≥6…（1分）
（3）∵a=1且b=0
∴f（x）=x²+1…（1分）
∴H(x)=

x2+1 x＞0   0 x=0   -x2-1 x＜0

…（1分）
∴H（x）是奇函数且在R上是增函数
∵H（m²+2）+H（3m）＞0
∴H（m²+2）＞-H（3m）
∵H（x）是奇函数
∴H（m²+2）＞H（-3m）…（1分）
又∵H（x）在R上是增函数
∴m²+2＞-3m
解得：m＞-1或m＜-2…（1分）
∴不等式的解集为（-∞，-2）∪（-1，+∞）…（1分）

点评：本题主要考查了二次方程根的存在条件，二次 函数的单调性的应用，及利用奇函数及函数的单调性解不等式等知识的综合应用，属于中档试题