题目内容
已知函数f（x）=x3-2ax2+3x
（1）若f（x）在x∈[1，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=a是f（x）的极值点，求f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=a是f（x）的极值点，求f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值．
分析：（1）f（x）=x3-2ax2+3x在x∈[1，+∞]上是增函数，即f'（x）=3x2-4ax+3≥0在[1，+∞]恒成立，由此构造不等式，结合基本不等式可得实数a的取值范围；
（2）若x=a是f（x）的极值点，则f'（a）=0，求出a值，分类讨论f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值可得答案．
（2）若x=a是f（x）的极值点，则f'（a）=0，求出a值，分类讨论f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值可得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=x3-2ax2+3x在x∈[1，+∞]上是增函数
∴f'（x）=3x2-4ax+3≥0
∴a≤
(x+
)在[1，+∞]恒成立
∴a≤[
(x+
)]min
∵
(x+
)≥
，当x=1时等号成立
∴a≤
…．（6分）
（2）由题可知f'（a）=3a2-4a2+3=0
∴a=±
当a=
时，x∈[-2，
]
f′(x)=3x2-4
x+3=3(x-
)(x-
)
此时 由f'（x）＞0可得-2≤x＜
；
由f'（x）＜0可得
＜x＜
，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-2，
)，
函数f（x）的单调递增区间为(
，
)
又∵f(-2)=-14-8
，f(
)=0
极小值为f(
)=
函数f（x）的函数f（x）的最小值为 -14-8
函数f（x）的函数f（x）的最大值为
…．（11分）
当a=-
时，x∈[-2，-
]
f′(x)=3x2+4
x+3=3(x+
)(x+
)
此时 由f'（x）≥0，
∴f（x）在[-2，-
]上为增函数，
∴f(x)min=f(-2)=-14+8
∴f(x)max=f(-
)=0…．（13分）
∴f'（x）=3x2-4ax+3≥0
∴a≤
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| x |
∴a≤[
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| x |
∵
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| x |
| 3 |
| 2 |
∴a≤
| 3 |
| 2 |
（2）由题可知f'（a）=3a2-4a2+3=0
∴a=±
| 3 |
当a=
| 3 |
| 3 |
f′(x)=3x2-4
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
此时 由f'（x）＞0可得-2≤x＜
| ||
| 3 |
由f'（x）＜0可得
| ||
| 3 |
| 3 |
所以函数f（x）的单调递增区间为[-2，
| ||
| 3 |
函数f（x）的单调递增区间为(
| ||
| 3 |
| 3 |
又∵f(-2)=-14-8
| 3 |
| 3 |
极小值为f(
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
函数f（x）的函数f（x）的最小值为 -14-8
| 3 |
函数f（x）的函数f（x）的最大值为
4
| ||
| 9 |
当a=-
| 3 |
| 3 |
f′(x)=3x2+4
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
此时 由f'（x）≥0，
∴f（x）在[-2，-
| 3 |
∴f(x)min=f(-2)=-14+8
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，基本不等式，熟练掌握导函数符号与原函数单调性之间的关系，是解答的关键．
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| 2 |
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| ||
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| ||
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| ||
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|