Question

已知函数f（x）=log₂（3+2x-x²）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证f（x）在x∈（1，3）上是减函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由3+2x-x²＞0得-1＜x＜3，函数f（x）的定义域是{x|-1＜x＜3}
（2）设1＜x₁＜x₂＜3，则3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵1＜x₁＜x₂0
∴3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）＜0，∴3+2x₂-x₂²＜3+2x₁-x₁²，
∴log₂（3+2x₂-x₂²）＜log₂（3+2x₁-x₁²）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是减函数．
（3）当-1＜x＜3时，有0＜3+2x-x²≤4．
f（1）=log₂4=2，所以函数f（x）的值域是（-∞，2]．
分析：（1）直接利用真数大于0解不等式即可求函数f（x）的定义域；
（2）先利用定义推出真数在x∈（1，3）上是减函数，再利用复合函数的单调性证明即可；
（3）先利用二次函数在固定区间上求值域的方法求出真数的取值范围，再代入整个函数，利用以2为底的指数函数在定义域内单调递增即可解题．
点评：本题是对函数定义域哈值域以及函数单调性的证明的综合考查．在证明一个函数的单调性时，一定要按取点，作差或作商，变形，判断．的过程一步一步的向下进行．