题目内容
已知函数f（x）=
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
解：（1）f′（x）=x2-2ax+a2-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=-a+a2-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a2-2a+1=0，
解得a=1，b=
．
（2）∵f（x）=x3-x2+，
∴f′（x）=x2-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=，f（2）=
，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．
分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
-a+a2-1+b，又f′（1）=-1，
∴a2-2a+1=0，
解得a=1，b=
．（2）∵f（x）=
x3-x2+，∴f′（x）=x2-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 极大值 | ?减 | 极小值 | 增 |
∵f（0）=
，f（2）=，f（-2）=-4，f（4）=8，∴在区间[-2，4]上的最大值为8．
分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|