题目内容
（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
分析：（1）根据题意先求不等式2x2-3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解
（2）对函数f（x）求导可得f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），由f'（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值
（2）对函数f（x）求导可得f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），由f'（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值
解答：解：（1）令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3）
①当0＜a≤
时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为x1=
，x2=
所以g（x）＞0的解集为(-∞，
)∪(
，+∞)
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=(0，
)∪(
，+∞)
②当
＜a＜1时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当0＜a≤
时，D=(0，
)∪(
，+∞)；
当
＜a＜1时，D=（0，+∞）
（2）f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①当0＜a≤
时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）
因为g（a）=2a2-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点
②当
＜a＜1时，由（1）知D=（0，+∞）
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1
综上所述，当0＜a≤
时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当
＜a＜1时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．
①当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
方程g（x）=0的两个根分别为x1=
3a+3-
| ||
| 4 |
3a+3+
| ||
| 4 |
所以g（x）＞0的解集为(-∞，
3a+3-
| ||
| 4 |
3a+3+
| ||
| 4 |
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=(0，
3a+3-
| ||
| 4 |
3a+3+
| ||
| 4 |
②当
| 1 |
| 3 |
综上所述，当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
3a+3-
| ||
| 4 |
3a+3+
| ||
| 4 |
当
| 1 |
| 3 |
（2）f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
因为g（a）=2a2-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
| x | （0，a） | a | （a，x1） | （x2，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | ↗ |
②当
| 1 |
| 3 |
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
| x | （0，a） | a | （a，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
综上所述，当0＜a≤
| 1 |
| 3 |
当
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想 的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．
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