题目内容

已知向量
p
、
q
满足条件：|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夹角为
π
4
，如图，若
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，且D为BC的中点，则
AD
的长度为（　　）
分析：根据向量的加法法则得2
AD
=
AB
+
AC
，结合题意得出
AD
=3
p
-
1
2
q
．由数量积的公式算出
p
•
q
=6，结合数量积的运算性质算出
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=
225
4
，从而可得
AD
的长度．
解答：解：∵
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，
∴根据向量加法的平行四边形法则，可得2
AD
=
AB
+
AC
=6
p
-
q
，
∴
AD
=3
p
-
1
2
q

∵|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夹角为
π
4
，
∴
p
2=|
p
|2=8，
q
2=|
q
|2=9，
p
•
q
=
|p|
•
|q|
cos
π
4
=6
由此可得
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=9
p
2-3
p
•
q
+
1
4
q
2=9×8-3×6+
9
4
=
225
4

∴
|AD|
=
AD
2
=
15
2
（舍负），即
AD
的长度为
15
2
．
故选：A
点评：本题着重考查了向量的加法法则、向量的数量积运算公式及其性质、向量模的公式等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
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（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
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