Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m，
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

Answer 1

解：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O， AP与平面相交于点G，连结OG， 因为PC∥平面，平面∩平面APC=OG， 故OG∥PC， 所以，OG=， 又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角， 在Rt△AOG中，tanAGO=，即m=， 所以，当m=时， 直线AP与平面所成的角的正切值为3。 （Ⅱ）可以推测，点Q应当是A1C1的中点O1， 因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A， 所以D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1， 故D1O1⊥AP， 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。