Question

已知f（x）是定义在R时的奇函数，且当x＞0时，f（x）=

1

x

+1
（1）求函数f（x）的解析式
（2）写成函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由x＜0时，-x＞0，得f（-x），再由奇函数的定义f（-x）=-f（x）得f（x）；由f（x）是R上奇函数，得f（0）=0；写出f（x）的解析式．
（2）x＜0时，f（x）是减函数，x＞0时，f（x）是减函数；得出f（x）的单调区间．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，∴-f（x）=f（-x）=-

1

x

+1，即f（x）=

1

x

-1；
又∵f（x）是R上奇函数，∴当x=0时，f（x）=0；
所以f（x）的解析式为：
f（x）=

1 x -1     (x＜0) 0            (x=0) 1 x +1      (x＞0)

（2）当x＜0时，f（x）=

1

x

-1是减函数，当x＞0时，f（x）=

1

x

+1是减函数；
∴函数f（x）的单调区间为：减区间（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的奇偶性和单调性问题，是基础题目．