Question

经过点P（2，1）且与曲线f（x）=x³-2x²+1相切的直线l的方程是

 

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Answer 1

分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-2x₀²+1，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，
再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程，从而可求直线l的方程．

解答：解：若经过点P（2，1）且与曲线f（x）=x³-2x²+1相切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），
则k=

y0-1

x0-2

=

x03-2x02

x0-2

=x₀²，
又∵f′（x）=3x²-4x，
∴3x₀²-4x₀=x₀²，
即2x₀²-4x₀=0，
解得x₀=0，x₀=2，
即k=0或4，
∴过点P（2，1）且与曲线f（x）=x³-2x²+1相切的直线l的方程为4x-y-7=0或y=1，
故答案为：4x-y-7=0或y=1

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．