Question

求满足下列条件的直线l方程．
（1）直线l过原点且与直线l₁：y=

3

3

x+1的夹角为

π

6

；
（2）直线l过直线l₁：x+3y-1=0与l₂：2x-y+5=0的交点，且点A（2，1）到l的距离为2

2

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，算出直线l的倾斜角为0或

π

3

，可得直线l的斜率，再由直线l经过原点，即可得到直线l的方程；
（2）设直线l为x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，化成一般式再利用点到直线的距离公式，建立关于λ的方程解出λ=

2

3

或-4，由此即可得到所求直线l的方程．

解答：解：（1）∵直线l₁的倾斜角为

π

6

，直线l与直线l₁的夹角为

π

6

；
∴直线l的倾斜角应为0或

π

3

，
所以直线l的斜率k=0或

3

，
又∵直线l过原点，∴直线l的方程为：y=0或

3

x-y=0
（2）根据题意，设直线l为x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，
整理得（2λ+1）x+（3-λ）y-1+5λ=0，
∵点A（2，1）到l的距离为2

2

，
∴

|4+8λ|

(2λ+1)2+(3-λ)2

=2

2

，解之得λ=

2

3

或-4，
所以直线l方程为x+y+1=0或x-y+3=0

点评：本题给出直线l满足的条件，求直线l的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．