Question

求满足下列条件的直线方程：
（1）经过原点，且倾斜角是直线y=

4

3

x-2014的倾斜角的一半．
（2）倾斜角为π-arctan

1

2

，且原点到该直线的距离为

5

．
（3）过A（-2，1），B（2，-3）的中点P，比直线AB的倾斜角小45°．

Answer 1

分析：（1）根据倾斜角关系求出直线的斜率即可．
（2）根据倾斜角求出斜率，利用待定系数法进行求解．
（3）求出中点P，以及直线的倾斜角，即可求直线的方程．

解答：解：（1）设直线y=

4

3

x-2014的倾斜角为θ，则tanθ=

4

3

，则所求直线的斜率k=tan

θ

2

＞0，
∵tanθ=

4

3

=

2tan? θ 2

1-tan?2 θ 2

，
∴4tan2

θ

2

+6tan

θ

2

-4=0，
即2tan?2

θ

2

+3tan?

θ

2

-2=0，
解得tan

θ

2

=

1

2

或tan

θ

2

=-2（舍去），
直线斜率k=tan

θ

2

=

1

2

，
∵直线过原点，∴直线方程为y=

1

2

x．
（2）∵直线的倾斜角为π-arctan

1

2

，
∴斜率k=tan（π-arctan

1

2

）=-

1

2

，
设直线方程为y=-

1

2

x+b，即x+2y-b=0，
∵原点到该直线的距离为

5

．
∴d=

|b|

12+22

=

|b|

5

=

5

，
即|b|=5，解得b=±5，
∴直线方程x+2y+5=0或x+2y-5=0．
（3）A（-2，1），B（2，-3）的中点P（0，-1），
AB的斜率k=tanθ=

-3-1

2-(-2)

=

-4

4

=-1，
∴直线AB的倾斜角为135°，
则所求直线的倾斜角为135°-45°=90°，
∴直线方程为x=0．

点评：本题主要考查直线方程的求法，根据直线方程的本题的条件是解决本题的关键．