题目内容
14．如表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为aij，则数字109在表中出现的次数为12．| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | … |
| 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | … |
| 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | … |
| 6 | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | … |
| 7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
分析 第1行数组成的数列aij（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列aij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．
解答 解：第i行第j列的数记为aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．
因为第一行数组成的数列a1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以a1j=2+（j-1）×1=j+1，
所以第j列数组成的数列aij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，
所以aij=（j+1）+（i-1）×j=ij+1．
令aij=ij+1=109，
∴ij=108=1×108=2×54=3×36=4×27=6×18=12×9=9×12=18×6=27×4=36×3=54×2=108×1，
所以，表中109共出现12次．
故答案为：12
点评 本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．
练习册系列答案
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