Question

18．已知PA垂直于△ABC所在的平面α，D为BC的中点，又PB、PD、PC与平面α所成的角为60°、45°、30°，且BC=6cm，求PA的长．

Answer 1

分析 画出图形，设出高并转化底面三角形的边长，利用余弦定理求解即可．

解答 解：由题意可得几何体的图形如图：设PA=h，由题意PA垂直于△ABC所在的平面α，可得∠PBA=60°、∠PDA=45°、∠PCA=30°，
则AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h，AD=h，AC=$\sqrt{3}$h，
在底面三角形ABC中，由余弦定理可得：${（\frac{\sqrt{3}}{3}h）}^{2}={3}^{2}+{h}^{2}-2×3×hcos∠ADB$，
${（\sqrt{3}h）}^{2}={3}^{2}+{h}^{2}-2×3×hcos∠ADC$，
可得$（3+\frac{1}{3}）{h}^{2}=9+9+2{h}^{2}$，
解得h=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
PA的长$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查空间几何体的距离的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．