题目内容

已知=1,求证：a2+b2=1.

思路分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证.

证明：由柯西不等式，得

≤［a2+(1-a2)］［b2+(1-b2)］=1,

当且仅当时，上式取等号，

∴ab=,

a2b2=(1-a2)(1-b2),

于是a2+b2=1.

练习册系列答案
相关题目
已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an，an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根．
（1）求证：{bn}为等差数列；
（2）已知a1=2，a2=6，分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（3）求数{
bn2n
}的前n项和S．
已知(1+
1
2
x)n(n∈N*)展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…，an（x），an+1（x），其中ak(x)=
C
k-1
n
(
1
2
x)k-1，k=1，2，3，…，n+1
设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x）+…+nan（x）+（n+1）an+1（x）
（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)．
数列{an}中，已知a1=
5
6
，a2=
19
36
，且a2-
a1
3
，a3-
a2
3
，…，an+1-
an
3
是公比为
1
2
的等比数列．
（1）求证数列a2-
a1
2
，a3-
a2
2
，…，an+1-
an
2
是公比为
1
3
的等比数列．
（2）求数列{an}的通项公式．
（3）问是否存在除
1
2
，
1
3
以外的实数k，使得数列{an+1-kan}成等比数列．
设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{an}、{bn}、{cn}前n项的和分别为Sn、Tn、Un．已知集合{a1，a2，…，ak，b1，b2，…，bk}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求数列{cn}的通项公式；
（2）若Sn-Tn=2n+2n（1≤n≤k，n∈N*），试研究k=4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{an}，{bn}），并说明理由；
（3）若an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{an}，{bn}）有偶数对．

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