Question

数列{a_n}中，已知a1=

5

6

，a2=

19

36

，且a2-

a1

3

，a3-

a2

3

，…，a_n+1-

an

3

是公比为

1

2

的等比数列．
（1）求证数列a2-

a1

2

，a3-

a2

2

，…，an+1-

an

2

是公比为

1

3

的等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）问是否存在除

1

2

，

1

3

以外的实数k，使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：因为a1=

5

6

，a2=

19

36

，所以a2-

1

3

a1=

1

4

，根据题意可得：an+1-

an

3

=(

1

2

)n+1，进而达到

an+2- an+1 2

an+1- an 2

=

1 3 [( 1 2 )n+1- 1 6 an]

( 1 2 )n+1- 1 6 an

=

1

3

，即可证明结论．
（2）由（1）可得：

1

6

an=(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1，所以an=3•(

1

2

)n-2•(

1

3

)n．
（3）假设存在这样的k，k≠

1

2

，

1

3

，可得an+1-kan=(

3

2

-3k)(

1

2

)n+(2k-

2

3

)(

1

3

)n，令a_n+2-ka_n+1=qa_n+1-qka_n，即

( 3 2 -3k) 1 2 =q( 3 2 -3k) (2k- 2 3 ) 1 3 =q(2k- 2 3 )

解得：k=

1

2

或

1

3

，进而达到答案．

解答：解：（1）由题意可得：因为a1=

5

6

，a2=

19

36

，
所以a2-

1

3

a1=

1

4

，
又因为a2-

a1

3

，a3-

a2

3

，…，a_n+1-

an

3

是公比为

1

2

的等比数列，
所以an+1-

an

3

=(

1

2

)n+1
所以

an+2- an+1 2

an+1- an 2

=

( 1 2 )n+2- 1 6 an+1

( 1 2 )n+1- 1 6 an

=

1 2 [( 1 2 )n+1- 1 3 an+1]

( 1 2 )n+1- 1 6 an

=

1 2 [( 1 2 )n+1- 1 3 ( 1 2 )n+1- 1 9 an]

( 1 2 )n+1- 1 6 an

=

1 3 [( 1 2 )n+1- 1 6 an]

( 1 2 )n+1- 1 6 an

=

1

3

，
所以数列a2-

a1

2

，a3-

a2

2

，…，an+1-

an

2

是公比为

1

3

的等比数列．
（2）由（1）可得：an+1-

1

2

an=(

1

3

)n+1，又因为an+1-

1

3

an=(

1

2

)n+1，
所以两式相减得

1

6

an=(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1，
所以an=6[(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1]=3•(

1

2

)n-2•(

1

3

)n，
所以an=3•(

1

2

)n-2•(

1

3

)n．
（3）假设存在这样的k，k≠

1

2

，

1

3

则有an+1-kan=3•(

1

2

)n+1-2•(

1

3

)n+1-3k(

1

2

)n+2k(

1

3

)n=(

3

2

-3k)(

1

2

)n+(2k-

2

3

)(

1

3

)n
所以(

3

2

-3k)(

1

2

)n+1+(2k-

2

3

)(

1

3

)n+1=q(

3

2

-3k)(

1

2

)n+q(2k-

2

3

)(

1

3

)n，
即 

( 3 2 -3k) 1 2 =q( 3 2 -3k) (2k- 2 3 ) 1 3 =q(2k- 2 3 )

解得：k=

1

2

或

1

3

，
所以不存在除

1

2

，

1

3

以外的实数k使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的通项公式以及等比数列的判定，此题属于难题．