Question

已知α、β是锐角，α+β≠

π

2

，且满足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求证：tan（α+β）=2tanα
（2）求tanβ的最大值，并求取得最大值时tanα的值．

Answer 1

分析：（1）把条件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要证明的结论中的角表示为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用两角和与差的正弦公式展开，整理即可证明结论．
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2(tanα)2

=

1

1 tanα +2tanα

，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值时tanα的值．

解答：解：（1）证明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵知α、β是锐角，α+β≠

π

2

，
∴

sin(α+β)cosα

cos(α+β)cosα

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)cosα

?tan（α+β）=2tanα
（2）因为tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2(tanα)2

=

1

1 tanα +2tanα

又因为α是锐角
所以

1

tanα

+2tanα≥2

1 tanα •2tanα

=2

2

，当且仅当

1

tanα

=2tanα时取等号，此时tanα=

2

2

．
故tanβ≤

1

2 2

=

2

4

．
所以：当tanα=

2

2

时，tanβ=

2

4

点评：在三角恒等式的证明中，一般都是把已知条件与所证结论相结合，即要看条件，又要分析条件和结论之间的关系．