Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若b2+c2-a2=

1

2

bc，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[

π

2

，

2π

3

]，求sin2

B+C

2

+cos2A的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求cosA根据条件，借助余弦定理即得
（2）利用降幂公式和二倍角公式化简成关于cosA的二次函数进行求解

解答：解：（Ⅰ）∵b2+c2-a2=

1

2

bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

．∴cosA=

1

4

．（5分）
（Ⅱ）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1-cos(B+C)

2

+2cos2A-1=

1

2

+

1

2

cosA+2cos2A-1
=2cos²A+

1

2

cosA-

1

2

=2（cosA+

1

8

）²-

17

32

，（9分）
∵A∈[

π

2

，

2π

3

]，
∴cosA∈[-

1

2

，0]．
∴2（cosA+

1

8

）²-

17

32

∈[-

17

32

，-

1

4

]．
即sin2

B+C

2

+cos2A的取值范围是[-

17

32

，-

1

4

]．（13分）

点评：本题综合考查了余弦定理，二次函数的最值问题，通过换元法转化成二次函数进行求解．