Question

如图，△PAB是边长为2的正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，设BC=a．
（1）若a=

2

，求直线PC与平面ABCD所成的角；
（2）设M为AD的中点，求当a为何值时，PM⊥CM？

Answer 1

分析：（1）设H是AB的中点，连接PH，CH．容易证明PH⊥平面ABCD，所以∠PCH为直线PC与平面ABCD所成的角，在RT△PCH中求解即可．
（2）连接MH，当且仅当CM⊥HM时，会有PM⊥CM．在△HNC中利用勾股定理得出关于a的方程并求解即可．

解答：解：（1）如图，设H是AB的中点，连接PH，CH．

∵△PAB是边长为2的正三角形，
∴PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，∠PCH为直线PC与平面ABCD所成的角，
在RT△PCH中，PH=

3

，CH=

BC2+HB2

=

3

，
∴∠PCH=45°
（2）由（1）PH⊥平面ABCD，所以PH⊥CM，连接MH，如图

当CM⊥HM时，会有CM⊥平面PNH，从而PM⊥CM．
由于在△HNC中，HN2=HA2+AM2=

a2

4

+1，MC2=MD2+DC2=

a2

4

+4，HC²=HB²+BC²=a²+1，
由勾股定理得出

a2

4

+1+

a2

4

+4=a²+1，解得a²=8，a=2

2

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．