Question

已知二次函数 f(x)=ax²+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x₁，x₂.

(1)如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x₀，求证x₀＞－1；

(2)如果|x₁|＜2，|x₂－x₁|=2，求b的取值范围.

Answer 1

(1)证明略 (2) 当0＜x₁＜2时，b＜，当－2＜x₁＜0时，b＞.

解析:

  (1)设g(x)=f(x)－x=ax²+(b－1)x+1，且x＞0.

∵x₁＜2＜x₂＜4，∴(x₁－2)(x₂－2)＜0，即x₁x₂＜2(x₁+x₂)－4，

(2)解:由方程g(x)=ax²+(b－1)x+1=0可知x₁·x₂=＞0，所以x₁，x₂同号?

1°若0＜x₁＜2，则x₂－x₁=2，∴x₂=x₁+2＞2，

∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0                                          ①

又(x₂－x₁)²=

∴2a+1= (∵a＞0)代入①式得，

2＜3－2b                                           ②

解②得b＜

2°若 －2＜x₁＜0，则x₂=－2+x₁＜－2

∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0                                       ③

又2a+1=，代入③式得

2＜2b－1                                           ④

解④得b＞.

综上，当0＜x₁＜2时，b＜，当－2＜x₁＜0时，b＞.