题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
| bx-1 | a2x+2b |
（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
分析：（1）根据函数f（x）为偶函数可得b=0，得到g（x）=
，定义域为{x|x≠0}，再结合奇函数的定义可得答案．
（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b2-4a2＞0，即
＞1或
＜-1，再结合二次函数的性质即可判断好的f（x）的单调性．
（3）由题意可得：
，设α为x1与x2中的一个数，则有
，即
，再分a＞0与a＜0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案．
| -1 |
| a2x |
（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b2-4a2＞0，即
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
（3）由题意可得：
|
|
|
解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=
=
，定义域为{x|x≠0}，
所以g（-x）=-g（x），
所以函数g（x）是奇函数．
（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b2-4a2＞0，即|
|＞1，即
＞1或
＜-1，
又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=-
，并且a＞0，
所以当-
＜ -1时，f（x）在（-1，1）上是增函数；当-
＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由
可得
，
设α为x1与x2中的一个数，
则有
，
因为x3+x4=-
，x3x4=
所以有
．
当a＞0时有
，
所以结合两式可得（a-a2）α2＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有
，
所以所以结合两式可得（a-a2）α2＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=
| bx-1 |
| a2x+2b |
| -1 |
| a2x |
所以g（-x）=-g（x），
所以函数g（x）是奇函数．
（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b2-4a2＞0，即|
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=-
| b |
| 2a |
所以当-
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
（3）由
|
|
设α为x1与x2中的一个数，
则有
|
因为x3+x4=-
| b |
| a |
| 1 |
| a |
所以有
|
当a＞0时有
|
所以结合两式可得（a-a2）α2＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有
|
所以所以结合两式可得（a-a2）α2＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．
点评：本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题．
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