题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根,当a>0时判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)当b=2a时,问是否存在x的值,使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a,不等式f(x)<4恒成立?并说明理由.
分析:(1)根据偶函数的定义可知f(-x)=f(x),可求出b的值,求出g(x)的定义域看是否对称,然后根据奇偶性定义进行判定;
(2)g(x)=x有两个不相等的实根可转化成△>0,可判定对称轴的范围,从而确定函数f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)不等式f(x)<4恒成立可转化成ax2+2ax-3<0对于-1≤a≤1且a≠0时恒成立,建立不等式组,解之即可求出所求.
解答:解:(1)若f(x)为偶函数,有f(-x)=f(x)⇒b=0,则g(x)=
-1
a2x
,定义域为{x|x≠0},且g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.
(2)由g(x)=x,整理得:a2x2+bx+1=0,且△=b2-4a2>0?|
b
2a
|>1,即
b
2a
>1或
b
2a
<-1,又f(x)得对称轴为x=-
b
2a

所以当-
b
2a
<-1时,f(x)在(-1,1)上为增函数;当-
b
2a
>1时,f(x)在(-1,1)上为减函数.
(3)由f(x)<4,即ax2+2ax+1<4,有ax2+2ax-3<0
由已知它对于-1≤a≤1且a≠0时上面不等式恒成立,则有
x2+2x-3<0
-x2-2x-3<0

解得:-3<x<1.
点评:本题主要考查了函数的奇偶性的判定,以及函数恒成立问题,同时考查了转化的能力,属于中档题.
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