Question

用数学归纳法证明下述整除问题：

求证：11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹(n∈N^*)被133整除.

Answer 1

思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除.

证明：(Ⅰ)当n=1时，11³+12³=1 331+1 728=3 059=133×23能被133整除，

∴当n=1时命题正确；

(Ⅱ)假设当n=k时命题正确，即11^k+2+12^2k+1能被133整除，

∴当n=k+1时，

11^k+3+12^2k+3=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+3-11×12^2k+1

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×(12²-11)

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×133.

能被133整除，即当n=k+1时命题也正确.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知命题对n∈N^*都正确.

方法归纳

（1）证明整除性问题时，常用到以下整除的性质：

若a|b，且a|c，则a|(b±c);

若a|b，则a|bc，“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.

（2）在由n=k时命题成立，证明n=k+1，命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧.