题目内容

数列{a_n}满足a₁=1，a₂= $数学公式$ ，a_n+2= $数学公式$ a_n+1- $数学公式$ a_n（n∈N^*）
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证：{d_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=3n-2，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵a₁=1， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
∴{a_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
（2）由①得 $\text{[math]}$
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+ $\text{[math]}$
=2- $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
记 $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
①-②得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）将递推式化简为a_n+2-a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+1- $\text{[math]}$ a_n，得到 $\text{[math]}$ 即可证明{d_n}是等比数列；
（2）由①得a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ ，利用叠加法可以解决问题
（3）利用错位相减法可以求和
点评：此题是考查学生对递推式的理解和应用，考查的知识点都是常见的解题方法，难度不大．