Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2。

（1）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长。

Answer 1

解：（1）∵ ∴ 又由直三棱柱性质知，平面ACC1A1 ∴ ① 由D为中点可知， ∴ 即 ② 由①②可知CD⊥平面B1C1D， 又平面B1CD， 故平面平面B1C1D。
（2）由（1）可知平面ACC1A1， 如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线于E，连EB1， 由三垂线定理可知为二面角B1-DC-C1的平面角， ∴ 由B1C1=2知 设AD=x，则 ∵△的面积为1 ∴ 解得 即。