Question

已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：首先由题意设出双曲线的标准方程，再由A、B两点的坐标可得a=1，然后根据△APB的垂心H总在双曲线上，则由双曲线的对称性可得点P、H关于x轴对称，那么直线PB与直线HA必然互相垂直，因此设出点P的坐标（m，n），进而列出方程组，最后消去参数m、n可解得b，则双曲线方程解决．

解答：解：依题意设双曲线的标准方程为

x2

a2

- 

y2

b2

=1，
因为a=1，所以双曲线的标准方程为x2-

y2

b2

=1．
又△APB的垂心H总在双曲线上，所以点P、H关于x轴对称，
设点P的坐标为（m，n），则点H的坐标为（m，-n），
所以

m2 - n2 b2 =1 n m+1 • -n m-1 =-1

，解得b=1，
故双曲线的标准方程为x²-y²=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，同时考查三角形垂心的概念、直线垂直的性质及解方程组的能力．