Question

12．如图，已知圆O：x²+y²=1，直线l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圆的一条切线，且l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的两点A，B．
（1）求k与b的关系；
（2）若弦AB的长为$\frac{4}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由圆心到切线的距离等于圆的半径求得k与b的关系；
（2）联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得k的值，进一步得到b的值，则直线l的方程可求．

解答 解：（1）∵直线l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圆圆O：x²+y²=1的一条切线，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即b²=k²+1  ①；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{b}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4\frac{2{b}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}=\frac{4}{3}$  ②，
联立①②解得：k=1或k=-1（舍）．
则b=$\sqrt{{k}^{2}+1}=\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为y=x+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查了弦长公式的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，运用一元二次方程的根与系数的关系求解，属中档题．