Question

某同学先后随机抛掷两枚正方体骰子，其中a表示第1枚骰子出现的点数，b表示第2枚骰子出现的点数．
（1）求点P（a，b）满足b²＜4a的概率；
（2）当时，求函数f（x）=（a-1）x²-bx+1为单调函数的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据所有的点P（a，b）共有6×6=36个，其中，满足b²＜4a的点用列举法求出共有17个，由此求得点P（a，b）满足b²＜4a的概率．
（2）所有的点P（a，b）共有6×6=36个．若a=1，求得满足题意得点（a，b）共有6个．若a≠1，由题意可得b≥a-1，此时，满足条件的点（a，b）一一列举出来共有20个．由此求得所求事件的概率．
解答：解：（1）所有的点P（a，b）共有6×6=36个，其中，满足b²＜4a的有：
（1，1 ）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2 ）、（3，3）、
（4，1 ）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2 ）、（5，3）、
（5，4）、（6，1）、（6，2）、（6，3 ）、（6，4）共17个，
故点P（a，b）满足b²＜4a的概率为 ．
（2）当时，若a=1，函数f（x）=-bx+1，是单调函数，
故满足题意得点（a，b）共有（1，1 ）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6），共有6个．
若a≠1，即a＞1时，函数f（x）=（a-1）x²-bx+1为二次函数，图象开口向上，对称轴为x=，
要使函数f（x）在上是单调函数，只有≥即可．
即b≥a-1，此时，满足条件的点（a，b）共有20个：
（2，1 ）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6），（3，2 ）、
（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，3），（4，4 ）、（4，5）、（4，6）、
（5，4）、（5，5）、（5，6），（6，5）、（6，6）．
故所求事件的概率等于=．
点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．