题目内容

 

设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和．

（1）证明；

    （2）设记数列的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小.

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

（1）由题设知a1>0，q>0．      ………………………………………1分

 (i)当q=1时，Sn=na1，于是 Sn·Sn+2－=na1·(n+2)a1－(n+1)2=－<0， …3分

 (ii)当q≠1时，， 

于是Sn·Sn+2－=．    …………7分

由(i)和(ii)，得Sn·Sn+2－<0．所以Sn·Sn+2<，． ……………8分

(2) 方法一：     …………11分

 Tn=，

Tn－q2Sn=，    …………………………………13分

＝≥2>0，    …………………………………15分

所以Tn>q2S．       …………………………………………………………16分

方法二：Tn=， ………11分

由，      …………………………………………………13分

因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），

因为，

所以，即Tn>q2S.        ……………………………16分

 

练习册系列答案
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已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；
（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
an-x1
an-x2
}是等比数列，并求
lim
n→∞
an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期．
（2011•钟祥市模拟）设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和
（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2012•金华模拟）设{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和．
（1）若q=2，且S1-2，S2，S3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）求证：对任意正整数n，Sn，Sn+1，Sn+2不成等比数列．
已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；
（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
an-x1
an-x2
}是等比数列，并求
lim
n→∞
an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期．

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