Question

（2011•延庆县一模）已知函数f（x）=sinx，x∈(0，

5π

2

)，若方程f（x）=a有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a的值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：可设其三个根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，根据题意得x₁+x₂=π，①；x₂+x₃=3π，②；又x₁，x₂，x₃成等比数列，可设其公比为q，由①②可解得q的值，从而可求得x₁，继而可求得a．

解答：解：∵函数f（x）=sinx，x∈(0，

5π

2

)，若方程f（x）=a有三个不同的实数根，三个根从小到大依次可设为x₁，x₂，
x₃，则x₁+x₂=π，x₂+x₃=3π；
∵x₁，x₂，x₃成等比数列，可设其公比为q，
则

x2 q +x2=π…① x2+qx2=3π …②

由

①

②

得：

1 q +1

1+q

=

1

3

，即q²-2q-3=0，解得q=-1（舍）或q=3，代入①
∴x₂=

3

4

π，
∴a=sinx₂=sin

3

4

π=

2

2

．
故选B．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，难点在于“x₁+x₂=π，x₂+x₃=3π”的理解，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．