Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列的前n项和，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）S_n=2a_n-2n①，n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，①-②可得数列递推式，通过变形可构造一等比数列，求出该等比数列的通项公式，进而可得a_n；
（2）由（1）可求得b_n，从而可得，利用错位相减法可求得T_n，通过作差可判断{T_n}的单调性，由此可求得其最小值，从而可证明；
解答：（1）解：当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n①，则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），∴，
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2．
∴{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）证明：，∴，
则③，
…④，
③-④，得+-=+-=，
∴T_n=-．
当n≥2时，，
∴{T_n}为递增数列，∴．
点评：本题考查数列与不等式的综合、数列的求和，考查学生分析解决问题的能力．