Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：；

（2）若,求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（1）首先可得为正三角形．

根据为的中点，得到．进一步有．

由平面，证得．

平面．即得．

（2）思路一：利用几何方法.遵循“一作，二证，三计算”，过作于，有平面，

过作于，连接，

即得为二面角的平面角，

在中，.

思路二：利用“向量法”：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

确定平面的一法向量及为平面的一法向量．

计算．

试题解析：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以． （7分）

（2）解法一：因为平面，平面，

所以平面平面．

过作于，则平面，

过作于，连接，

则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又， 在中，，

即所求二面角的余弦值为． （14分）

解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，

，

所以．

设平面的一法向量为，

则因此

取，则，

因为，，，

所以平面，

故为平面的一法向量．

又，

所以．

因为二面角为锐角，

所以所求二面角的余弦值为．

考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.