Question

（12分）已知棱长为1的正方体AC₁，E、F分别是B₁C₁、C₁D的中点．

（1）求证：E、F、D、B共面；

（2）求点A₁到平面的BDEF的距离；

（3）求直线A₁D与平面BDEF所成的角．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）1；（3）.

【解析】

试题分析：解：（1）略．

（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,

则知B（1，1，0），

设

得则

令．

设点A₁在平面BDFE上的射影为H，连结A₁D，知A₁D是平面BDFE的斜线段．

又

即点A₁到平面BDFE的距离为1．

（3）由（2）知，A₁H=1，又A₁D=，则△A₁HD为等腰直角三角形，

是在平面上的射影

所以是直线与平面所成的角，所以。

考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。

点评：以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求点到平面的距离、求直线与平面所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．