Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2an-2(n∈N*)，数列{b_n}中，b₁=1，bn+1=

bn

2bn+1

．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n
（2）设cn=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）设hn=

an

3n•bn

，若对于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由Sn=2an-2(n∈N*)，可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，两式相减可得a_n=2a_n-1，从而可知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得a_n=2ⁿ；根据bn+1=

bn

2bn+1

，两边取倒数，可得数列{

1

bn

}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{b_n}的通项
（2）cn=

an

bn

= (2n-1)2n，所以数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和
（3）hn=

an

3n•bn

=(2n-1)(

2

3

)n，可判断n=1，2时，h_n+1＞h_n；n≥3时，h_n+1＜h_n，故n=3时，h_n取得最大值

40

27

，从而可求λ的取值范围．

解答：解：（1）由Sn=2an-2(n∈N*)，可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2
两式相减可得：a_n=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2（n≥2）
∵n=1时，S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ
∵bn+1=

bn

2bn+1

∴

1

bn+1

-

1

bn

=2
∵b₁=1，∴

1

b1

=1
∴数列{

1

bn

}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴

1

bn

=1+2(n-1)=2n-1
∴bn=

1

2n-1

（2）cn=

an

bn

= (2n-1)2n
∴数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
∴T_n=6-2ⁿ⁺²+（2n-1）×2ⁿ⁺¹；
（3）hn=

an

3n•bn

=(2n-1)(

2

3

)n
∴hn+1-hn= (2n+1)(

2

3

)n+1-(2n-1)(

2

3

)n=(

2

3

)n(-

2

3

n+

5

3

)
∴n=1，2时，h_n+1＞h_n；n≥3时，h_n+1＜h_n
∴n=3时，h_n取得最大值

40

27

∵对于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，
∴λ＞

40

27

，
∴λ的取值范围为(

40

27

，+∞)．

点评：本题综合考查等差数列与等比数列，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，解题的关键是研究数列通项的特点，有针对性的选择方法．