Question

已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.

   （1）求证：点P的纵坐标是定值;

   （2）若数列的通项公式为, 求数列的前m项和；

   （3）设数列满足:，设，

若（2）中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.

Answer 1

解：（1）当时，在上单调递减，又的最小值为，

∴，得t=1 ;

当时，在上单调递增，又的最小值为，

∴，得t=2（舍） ;

当t = 0时，（舍），

∴t = 1, .

∵ ∴，

∴，即p点的纵坐标为定值。

   （2）由(1)可知, , 所以,

即

由, … ① 

得 …②

由①＋②, 得

∴ 

   （3） ∵, ……③ 

∴对任意的. ……④

由③、④, 得 即.

∴.

∵

∴数列是单调递增数列.

∴关于n递增. 当, 且时, .

∵

∴∴即

∴ ∴m的最大值为6.