Question

过长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的对角线AC₁的截面是平行四边形AMC₁N，其中M∈A₁B₁，N∈DC，AB=3，BC=1，C₁C=2，当平行四边形AMC₁N的周长最小时，异面直线MC₁与AB所成的角为

45°

．

Answer 1

分析：先利用长方体展开图求出平行四边形AMC₁N的周长最小时点M的位置，再由异面直线所成的角的定义，作出异面直线所成的角的平面角，最后在三角形中计算此角即可

解答：解：如图要使平行四边形AMC₁N的周长最小，需将平面A₁B₁BA与平面A₁B₁C₁D₁展开，让AMC₁在一条直线上即可，其展开图如图
在正方形ABC₁D₁中，可得B₁M=1，即B₁M=1时平行四边形AMC₁N的周长最小，
∵AB∥A₁B₁，∴∠C₁MB₁就是异面直线MC₁与AB所成的角
在Rt△C₁B₁M中，B₁M=C₁B₁=1，∴∠C₁MB₁=45°
∴异面直线MC₁与AB所成的角为45°
故答案为45°

点评：本题考察了长方体展开图的意义和作用，异面直线所成的角的作法和求法，将空间问题转化为平面问题的思想方法