Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数；
（4）求ED与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证A₁C⊥平面EBD，只需证明A₁C⊥BD（通过A₁A⊥面ABCD来证得），A₁C⊥BE（通过BE⊥面A₁B₁C来证得）即可
（2）由于AB∥平面A₁B₁C，将点A到平面A₁B₁C的距离转化成点B到平面A₁B₁C的距离．即为BF的长．
（3）由上可以证出平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数为90°
（4）连接DF，A₁D，EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，EF⊥面A₁B₁C，所以∠EDF即为ED与平面A₁B₁C所成的角，在三角形EFD中求解即可．

解答：解：（1）连接AC，则AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD内的射影
∴A₁C⊥BD；
又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB内的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又∵BD∩BE=B
∴A₁C⊥面EBD…（3分）
（2）∵AB∥平面A₁B₁C，点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离
∵

BF⊥B1C BF⊥A1B1

⇒BF⊥平面A₁B₁C，BF的长即为所求距离．
∴所求距离即为BF=

BB1• BC

B1C

=

3×4

32 +42

=

12

5

  …（6分）
（3）由（2）∵BF⊥平面A₁B₁C，，而BF在平面BDE上，
∴平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数为90°．
 …（9分）
（4）连接DF，A₁D，∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥面A₁B₁C，
∴∠EDF即为ED与平面A₁B₁C所成的角  （6分）  
由条件AB=BC=3，BB₁=4，
可知B₁C=5，BF=

12

5

，B1F=

16

5

，CF=

9

5

，EF=

FC

B1F

•BF=

27

20

，EC=

FC

B1F

•BB1=

9

4

∴ED=

EC2+CD2

=

15

4

∴sin∠EDF=

EF

ED

= 

27 20

15 4

= 

9

25

．
∴ED与平面A₁B₁C所成角为arcsin

9

25

…（12分）

点评：本题考查了空间直线和直线、直线和平面、平面和平面垂直的判定与性质，线面角，面面角的计算．考查空间想象能力、计算、推理论证能力．