Question

已知函数f(x)=6lnx-ax²-8x+b(a，b为常数)，且x=3为f(x)的一个极值点.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若y=f(x)的图像与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=-2ax-8,∴f′(3)=2-6a-8=0,则a=-1.

(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由(I)知f(x)=6lnx+x²-8+b.

∴f′(x)=+2x-8=.

由f′(x)＞0可得x＞3或x＜1,由f′(x)＜0可得1＜x＜3.

∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).

(注：单调区间应分开写,不能用“U”连接)

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0,1)单调递增,在(1,3)单调递减,在(3,+∞)单调递增.

且当x=1或x=3时,f′(x)=0.

∴f′(x)的极大值为f′(1)=6ln1+1-8+b=b-7,

f′(x)的极大值为f(3)=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15.

∵当x充分接近0时,f′(x)＜0.当x充分大时,f(x)＞0.

∴要使的f′(x)图像与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点,只

需则7＜b＜15-6ln3