Question

定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[-1.5]=-2，若f（x）=sin（x-[x]），则下列结论中：正确的序号为

 

①y=f（x）是奇函数；  
②y=f（x）是周期函数，周期为2π；  
③y=f（x）的最小值为0，无最大值； 
④y=f（x）无最小值，最大值为sin1．

Answer 1

分析：举出反例f（-1.5）=f（1.5）≠0可判断①；根据f（x+1）=f（x）可得1为函数的周期，可判断②；求出函数的值域，进而可判断③④

解答：解：由已知中，f（x）=sin（x-[x]），[x]表示不超过x的最大整数，
可得f（1.5）=sin（1.5-[1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=sin（-1.5-[-1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=f（1.5）≠0，故①y=f（x）是奇函数错误；  
f（x+1）=sin（x+1-[x+1]）=sin（x+1-[x]-1）=sin（x-[x]）=f（x），1＜2π，故②y=f（x）是周期函数，周期为2π错误；  
由g（x）=x-[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y=f（x）=sin（x-[x]）∈[0，sin1），即y=f（x）的最小值为0，无最大值，故③正确； ④错误．
综上，正确序号为③．
故答案为：③

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．