Question

对于实数x，定义[x]表示不超过x大整数，已知正数数列a_n满足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)，其中S_n为数列a_n的前n项的和，则[

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

]=（　　）

• A、20
• B、19
• C、18
• D、17

Answer 1

分析：由题意已知正数数列a_n满足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)，利用已知数列的前n项和求其S_n得通项，再求出S=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

，利用不等式的性质简单放缩即可．

解答：解：由于正数数列a_n满足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

 [(Sn-Sn-1)+

1

Sn-Sn-1

]，
?Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

?S_n²=S_n-1²+1，
因为S1=a1=1，所以，Sn2=n  ，由于各项为正项，所以Sn=

n

，
故

n

+

n-1

＜2

n

＜

n+1

+

n

，

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

＜

1

2 n

＜

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
令S=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

，则

S

2

＞ 

101

-1＞9?S＞18，
又因为S₁=a₁=1，
所以

S

2

=

1

2S2

+…+

1

2S100

＜

100

-1=9，

1

S1

=1，故s＜19，
从而[S]=18．
故选：C

点评：此题考查了数列的已知数列前n项的和求通项，不等式的性质，不等式的简单放缩，及学生理解题意的能力和计算能力．