Question

函数f（x）=a^x-x，（a＞1），求f（x）最小值，并求最小值小于0时，a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=a^xln^a-1，f'（x）＞0，即a^xln^a＞1，
∴ax＞

1

lna

，又a＞1，∴x＞-log_a^lna；
同理f'（x）＜0，有∴x＜-log_a^lna，
所以f'（x）在（-∞，-log_a^lna）上是减函数，在（-log_a^lna，+∞）是增函数，故f(x)min=f(-lo

g

lnaa

)=

1+ln(lna)

lna

．
（2）若f（x）_min＜0，即

1+ln(lna)

lna

＜0，
则ln（lna）＜-1，
∴lna＜

1

e

，
∴a∈(1，e

1

e

)．