Question

（本题满分16分）两镇A和B相距20km，现计划在两镇外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对镇区的影响度与所选地点到镇的的距离有关，对镇A和镇B的总影响度为镇A与镇B的影响度之和，记C点到镇A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对镇A和镇B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对镇A的影响度与所选地点到镇A的距离的平方成反比，比例系数为4；对镇B的影响度与所选地点到镇B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对镇A和镇B的总影响度为0.065．

（Ⅰ）将y表示成x的函数；

（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对镇A和镇B的总影响度最小？若存在，求出该点到镇A的距离;若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）  

解析:

（Ⅰ）如图,由题意知AC⊥BC,,

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

（Ⅱ）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到镇A的距离为时, 函数有最小值.所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对镇A和镇B的总影响度最小.