Question

21.某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a₁,a₂,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1+r)^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1+r)^n-2,……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.

(Ⅰ)写出T_n与T_n-1(n≥2)的递推关系式；

(Ⅱ)求证：T_n=A_n+B_n，其中是一个等比数列，是一个等差数列.

Answer 1

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ)我们有T_n=T_n-1(1+r)+a_n(n≥2).

(Ⅱ)T₁=a₁,对n≥2反复使用上述关系式，得

T_n=T_n-1(1+r)+a_n=T_n-2(1+r)²+a_n-1(1+r)+a_n=…

=a₁(1+r)^n-1+a₂(1+r)^n-2+…+a_n-1(1+r)+a_n.                  ①

在①式两端同乘1+ r,得

(1+r)T_n=a₁(1+r)ⁿ+a₂(1+r)^n-1+…+a_n-1(1+r)²+a_n(1+r).②

②-①，得

rT_n=a₁(1+r)ⁿ+d[(1+r)^n-1+(1+r)^n-2+…+(1+r)]-a_n

,

即.

如果记，，

则T_n=A_n+B_n,

其中{A_n}是以为首项，以1+r(r＞0)为公比的等比数列;｛B_n｝是以为首项，

为公差的等差数列。