Question

【题目】已知中，是角的对边，则其中真命题的序号是__________.

①若，则在上是增函数；

②若，则是直角三角形；

③ 的最小值为；

④若，则；

⑤若，则.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①由正弦定理，可知命题正确；②由余弦定理可得acosB+bcosA=a +b=c，可得a2=b2+c2；③由三角函数的公式可得sinc+cosc=sin（c+），由的范围可得sin（c+）∈（1，]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍）；⑤展开变形可得 =1，即tan（A+B）=1，进而可得A+B=.

①由正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，

∴sinA﹣sinB＞0，∴f（x）=（sinA﹣sinB）x在R上是增函数，故正确；

②由余弦定理可得acosB+bcosA= a +b=c，故可得a2﹣b2=c2，即a2=b2+c2，故△ABC是Rt△，故正确；

③由三角函数的公式可得sinc+cosc=sin（c+），∵0＜c＜π，∴＜+c＜，∴sin（c+）∈（﹣，1]，∴sin（c+）∈（1，]；故取不到最小值为﹣，故错误；

④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍），∴A=B，故正确；

⑤展开可得1+tanA+tanB+tanAtanB=2，1﹣anAtanB=tanA+tanB，

∴=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=，故错误；

∴正确的命题是①②④．

故答案为：①②④．