Question

空间作用在同一点的三个力

F1

，

F2

，

F3

两两夹角为60°，大小分别为 |

F1

|=1，|

F2

|=2，|

F3

|=3，设它们的合力为

F

=

F1

+

F2

+

F3

，则（　　）

Answer 1

分析：设三个力对应的向量分别为

OA

、

OB

、

OC

，以OA、OB、OC为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体如图，再以平面OBGC为xoy平面，O为原点、OC为y轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点A、B、C的坐标，运用向量的加法法则，可得

F

=（-

7 3

6

，

9

2

，

6

3

）．最后利用向量模的公式算出|

F

|，并且利用向量夹角公式算出

F

与

F1

夹角余弦，即得本题答案．

解答：解：设向量

OA

=

F1

，

OB

=

F2

，

OC

=

F3

以OA、OB、OC为过同一个顶点的三条棱，
作平行六面体OBGC-ADEF，如图所示
则可得向量

OE

=

F

=

F1

+

F2

+

F3

以平面OBGC为xoy平面，O为原点，
OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示
可得O（0，0，0），B（-

3

，1，0），C（0，3，0）
设A（x，y，z），可得

OA • OB =- 3 x+y=1 OA • OC =3y= 3 2 | OA |= x2+y2+z2 =1

，解之得x=-

3

6

，y=

1

2

，z=

6

3

．
∴

OA

=

F1

=（-

3

6

，

1

2

，

6

3

），
结合

OB

=

F2

=（-

3

，1，0），

OC

=

F3

=C（0，3，0），可得

F

=

F1

+

F2

+

F3

=（-

7 3

6

，

9

2

，

6

3

）
∴|

F

|=

(- 7 3 6 )2+( 9 2 )2+( 6 3 )2

=5
设

F

与

F

₁所成的角为θ，可得cosθ=

F • F1

| F |•| F1 |

=

- 7 3 6 ×(- 3 6 )+ 1 2 × 9 2 + 6 3 × 6 3

5×1

=

7

10

即

F

与

F

₁所成角的余弦之值为

7

10

故选：C

点评：本题给出空间两两夹角为60°的三个向量，在已知它们的长度情况下求它们的和向量的大小与方向，着重考查了空间向量的坐标运算和向量模与夹角公式等知识，属于中档题．