Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若实数a∈[0，+∞），求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）将关于x的方程|f（x）|=g（x）变形可得|x-1|（|x+1|-a）=0，从而确定有一个根为1，将问题转化为求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的根或者无根，利用数形结合的方法，即可求得实数a的取值范围；
（2）不等式（x²-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，分成当x=1时恒成立，当x≠1时，利用参变量分离法得到a≤

x2-1

|x-1|

对x∈R恒成立，根据绝对值的定义，去掉绝对值，构造函数φ（x）=

x+1，x＞1 -x-1，x＜1

，求出φ（x）的取值范围，从而得到a的取值范围，综合两种情况下的a的取值，即可得到答案；
（3）讨论x去绝对值，得到分段函数，然后分别结合函数的图象得到函数的单调性从而求出函数h（x）在[-2，2]上的最大值，从而求出所求．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
∴关于x的方程|f（x）|=g（x），
即为|x²-1|=a|x-1|，
即为|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然x=1是方程的根，
∵关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，
∴方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的根或者无根，
结合函数图象可得，a＜0，
∴实数a的取值范围为a＜0；
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即为（x²-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，
①当x=1时，0≥0显然恒成立，
∴a∈R；
②当x≠1时，（x²-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，可变形为a≤

x2-1

|x-1|

对x∈R恒成立，
令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1，x＞1 -x-1，x＜1

，
∵当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，
∴a≤-2，
综合①②，实数a的取值范围为a≤-2；
（3）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x≤1 x2-ax+a-1，x＜-1

，
①当

a

2

＞1，即a＞2时，结合函数的图象可知，h（x）在[-2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
②当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，结合函数图象可知h（x）在[-2，1]，[-

a

2

，1]上单调递减，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上单调递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值及其几何意义，函数的零点．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．