Question

已知椭圆C方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为．
（1）求椭圆方程．
（2）已知A，B方程为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆在第一象限内的一点，l为点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．

Answer 1

【答案】分析：（1）写出过右焦点斜率为1的直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到该直线的距离由距离等于求出c的值，则a可求，所以椭圆方程可求；
（2）设出直线AT的方程及点T的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到T点坐标，求出向量的坐标，由AT方程和直线x=得到S的坐标，因为，而BT⊥SM，所以得到O，M，S三点共线．
解答：解：（1）设右焦点为（c，0），则过右焦点斜率为1的直线方程为：y=x-c
则原点到直线的距离=
∴c=1，a=
∴方程为；
（2）设直线AT方程为：y=k（x+）（k＞0），设点T（x₁，y₁），
联立，得．
∵，又∵A（），
∴．
又∵B（），∴．
由圆的性质得：BT⊥SM，
所以，要证明O，M，S三点共线，只要证明BT⊥SO即可．
又∵S点的横坐标为，
∴S点的坐标为．
∴．
∴．
即BT⊥SO，又∵BT⊥SM，
∴O，M，S三点共线．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用平面向量解决有关问题，考查了学生的运算能力，是难题．